II. Statistiques : Effectifs, moyenne, fréquences, diagrammes
Objectifs
En statistique, on manipule parfois de très grandes quantités d’informations. Pour en simplifier l’analyse, on effectuera quelques calculs ou diagrammes : moyennes, fréquences, diagrammes en bâtons ou circulaires…
Comment calculer des moyennes, des effectifs cumulés, des fréquences… ? Comment représenter ces données sur des graphiques en bâtons ou circulaires ?
Comment calculer des moyennes, des effectifs cumulés, des fréquences… ? Comment représenter ces données sur des graphiques en bâtons ou circulaires ?
1. Etudes statistiques
On effectue une étude statistique par le relevé de certaines données sur une population.
Les données sont, suivant les besoins, sous forme de listes, de tableaux d’effectifs ou de diagrammes. A partir de ces données, on effectue des calculs qui nous renseignent sur cette étude.
Parmi ces calculs, on rappellera :
• Moyenne pondérée : la donnée de la moyenne donne « un aperçu » d’une série statistique. La moyenne est un indicateur de « position » d’une série statistique. Elle est donnée par la formule :
• Fréquence d’une valeur : la fréquence est un indicateur du nombre de fois par rapport à la totalité qu’une valeur est présente dans une série statistique. La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1 que l’on peut aussi donner sous forme de pourcentages. Elle est donnée par la formule suivante :
• Fréquences cumulées : les fréquences cumulées permettent de répondre facilement à des questions « Quel pourcentage de la population a moins de (ou a plus de) … ? ».
Pour y répondre on distinguera :
- Les fréquences cumulées croissantes associées à une valeur est la somme des fréquences
des valeurs inférieures.
- Les fréquences cumulées décroissantes associées à une valeur est la somme des fréquences des valeurs supérieures.
Les données sont, suivant les besoins, sous forme de listes, de tableaux d’effectifs ou de diagrammes. A partir de ces données, on effectue des calculs qui nous renseignent sur cette étude.
Parmi ces calculs, on rappellera :
• Moyenne pondérée : la donnée de la moyenne donne « un aperçu » d’une série statistique. La moyenne est un indicateur de « position » d’une série statistique. Elle est donnée par la formule :
Moyenne pondérée = 
• Fréquence d’une valeur : la fréquence est un indicateur du nombre de fois par rapport à la totalité qu’une valeur est présente dans une série statistique. La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1 que l’on peut aussi donner sous forme de pourcentages. Elle est donnée par la formule suivante :
Fréquence d'une valeur = 
• Fréquences cumulées : les fréquences cumulées permettent de répondre facilement à des questions « Quel pourcentage de la population a moins de (ou a plus de) … ? ».
Pour y répondre on distinguera :
- Les fréquences cumulées croissantes associées à une valeur est la somme des fréquences
des valeurs inférieures.
- Les fréquences cumulées décroissantes associées à une valeur est la somme des fréquences des valeurs supérieures.
2. Etude statistique sur des valeurs discrètes
Exemple : Dans une classe de 25 élèves, on a répertorié le nombre de frères et sœurs de chaque élève dans un tableau :
• Moyenne pondérée :
Moyenne pondérée =
En moyenne, les élèves de cette classe ont un peu moins de 2 frères et sœurs.
• Fréquences et fréquences cumulées croissantes :
Fréquence en % de la valeur "3 frères et sœurs" :
Fréquence =
Donc 20 % des élèves de cette classe ont 3 frères ou sœurs.
Pourcentage d’élèves ayant au plus 2 frères et sœurs :
D’après le tableau de fréquences cumulées croissantes, on peut lire qu’il y a 76% des élèves de cette classe qui ont au plus 2 frères et sœurs.
Pour obtenir ce résultat, on additionne toutes les fréquences des valeurs inférieures ou égales à 2 frères et sœurs : Soit 8 + 32 + 36 = 76 %.
• Diagramme en bâtons
Pour mieux visualiser cette étude statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons :
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
| Effectifs | 2 | 8 | 9 | 5 | 1 | 25 |
• Moyenne pondérée :
Moyenne pondérée =
En moyenne, les élèves de cette classe ont un peu moins de 2 frères et sœurs.
• Fréquences et fréquences cumulées croissantes :
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
| Effectifs | 2 | 8 | 9 | 5 | 1 | 25 |
| Fréquence en pourcentage (%) | 8 | 32 | 36 | 20 | 4 | 100 |
| Fréquences cumulées croissantes (%) | 8 | 40 | 76 | 96 | 100 | - |
Fréquence en % de la valeur "3 frères et sœurs" :
Fréquence =
Donc 20 % des élèves de cette classe ont 3 frères ou sœurs.
Pourcentage d’élèves ayant au plus 2 frères et sœurs :
D’après le tableau de fréquences cumulées croissantes, on peut lire qu’il y a 76% des élèves de cette classe qui ont au plus 2 frères et sœurs.
Pour obtenir ce résultat, on additionne toutes les fréquences des valeurs inférieures ou égales à 2 frères et sœurs : Soit 8 + 32 + 36 = 76 %.
• Diagramme en bâtons
Pour mieux visualiser cette étude statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons :
3. Etude statistique sur des valeurs données par classe
Exemple : Dans la même classe de 25 élèves, on note la taille des élèves dans un tableau en les regroupant par classe :
Les intervalles [150 ;160[ ou [160 ;170[ sont, par exemple, des classes de valeurs.
• Moyenne pondérée :
Pour calculer la moyenne pondérée d’une étude statistique donnée par classe, on utilise le centre de la classe :
Moyenne pondérée =
En moyenne, les élèves de cette classe mesurent 169,4 cm.
Remarque : Ce calcul de moyenne n'est pas très précis. En effet, avec la technique utilisée précédemment, on considère par exemple que les 3 élèves de la classe [150;160[ mesurent tous 155 cm, ce qui peu probable. Pour avoir une moyenne plus précise, il aurait fallu connaitre la taille exacte de chacun des élèves.
• Fréquence d’une valeur :
Pourcentage d’élèves mesurant entre 160 et 170 cm : Il y a 11 élèves sur 25 qui sont dans cette tranche de taille.
Soit :
Donc 44 % des élèves de cette classe mesurent entre 160 et 170 cm.
• Diagramme circulaire :
Pour mieux représenter cette étude statistique, on peut tracer un diagramme circulaire.
Pour cela, on établira le tableau donnant les angles correspondants aux effectifs pour chaque classe de taille :
Exemple de calculs d’angles:
Angle correspondant aux 3 élèves mesurant entre 150 et 160 cm :
| Taille en cm | [150;160[ | [160;170[ | [170;180[ | [180;190[ |
| Effectifs | 3 | 11 | 8 | 3 |
| Centre de classe | 155 | 165 | 175 | 185 |
Les intervalles [150 ;160[ ou [160 ;170[ sont, par exemple, des classes de valeurs.
• Moyenne pondérée :
Pour calculer la moyenne pondérée d’une étude statistique donnée par classe, on utilise le centre de la classe :
Moyenne pondérée =
En moyenne, les élèves de cette classe mesurent 169,4 cm.
Remarque : Ce calcul de moyenne n'est pas très précis. En effet, avec la technique utilisée précédemment, on considère par exemple que les 3 élèves de la classe [150;160[ mesurent tous 155 cm, ce qui peu probable. Pour avoir une moyenne plus précise, il aurait fallu connaitre la taille exacte de chacun des élèves.
• Fréquence d’une valeur :
Pourcentage d’élèves mesurant entre 160 et 170 cm : Il y a 11 élèves sur 25 qui sont dans cette tranche de taille.
Soit :
Donc 44 % des élèves de cette classe mesurent entre 160 et 170 cm.
• Diagramme circulaire :
Pour mieux représenter cette étude statistique, on peut tracer un diagramme circulaire.
Pour cela, on établira le tableau donnant les angles correspondants aux effectifs pour chaque classe de taille :
| Taille en cm | [150;160[ | [160;170[ | [170;180[ | [180;190[ |
| Effectifs | 3 | 11 | 8 | 3 |
| Angles en degré | 43,2° | 158,4° | 115,2° | 43,2° |
Exemple de calculs d’angles:
Angle correspondant aux 3 élèves mesurant entre 150 et 160 cm :
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